設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意的,都有(為正常數(shù)).
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)在滿足(2)的條件下,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)詳見(jiàn)解析;(2);(3).
解析試題分析:(1)利用與之間的關(guān)系,對(duì)分兩種情況討論,時(shí),求的值,時(shí),利用得出與之間的關(guān)系,進(jìn)而利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)在(1)的條件下求出的值,然后根據(jù)數(shù)列的遞推公式的結(jié)構(gòu)利用倒數(shù)法得到數(shù)列為等差數(shù)列,通過(guò)求處等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)利用(2)中數(shù)列的通項(xiàng)公式,并根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)選擇錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
試題解析:(1)證明:當(dāng)時(shí),,解得. 1分
當(dāng)時(shí),.即. 2分
又為常數(shù),且,∴. 3分
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. 4分
(2) 5分 ∵,∴,即. 7分
∴是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. 8分
∴,即. 9分
(3)由(2)知,則.
所以, 10分
即, ① 11分
則, ② 12分
②-①得, 13分
故. 14分
考點(diǎn):1.利用定義證明等比數(shù)列;2.倒數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式;3.錯(cuò)位相減法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)一切正整數(shù)n,點(diǎn)Pn(n,Sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,且在點(diǎn)Pn(n,Sn)處的切線的斜率為kn.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=2knan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足,,,且是等比數(shù)列。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求出通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)求證:…
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列,,若以為系數(shù)的二次方程:都有根滿足.
(1)求證:為等比數(shù)列
(2)求.
(3)求的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列,為前項(xiàng)和,和的等差中項(xiàng)為,且.令數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求及;
(2)是否存在正整數(shù)成等比數(shù)列?若存在,求出所有的的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知是公比為的等比數(shù)列,且成等差數(shù)列.
⑴求q的值;
⑵設(shè)是以2為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,當(dāng)n≥2時(shí),比較 與的大小,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
公差不為零的等差數(shù)列{}中,,又成等比數(shù)列.
(I) 求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.
(II)設(shè),求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
等差數(shù)列中,
(I)求的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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