Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F．
（1）求證：面PBC⊥面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的正切值大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)已知條件便知，DE⊥BC，DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC，所以PB⊥DE，又PB⊥EF，所以PD⊥平面DEF，所以面PBC⊥面EFD；
（2）通過（1）知∠DFE是二面角C-PB-D的平面角，并且△DEF是直角三角形，設(shè)PD=1，容易求出DE=

2

2

，根據(jù)△PEF∽△PBC，可求出EF，繼而求出DF，則二面角C-PB-D的正切值便是：

DE

DF

，把求得的DE，DF帶入即可．

解答： 解：（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD；
∴PD⊥BC，即BC⊥PD，又BC⊥CD，PD∩CD=D；
∴BC⊥平面PCD，DE?平面PCD，∴BC⊥DE，即DE⊥BC；
∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)；
∴DE⊥PC，PC∩BC=C；
∴DE⊥平面PBC，PB?平面PBC；
∴DE⊥PB，即PB⊥DE，又PB⊥EF，DE∩EF=E；
∴PB⊥平面EFD，PB?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面EFD；
（2）PB⊥平面EFD，∴PB⊥EF，PB⊥DF；
∴∠DFE是二面角C-PB-D的平面角；
由（1）知DE⊥平面PBC，EF?平面PBC；
∴DE⊥EF，即△DEF為Rt△；
設(shè)PD=1，則DE=

2

2

；
由（1）知△PBC為Rt△，∴△PEF∽△PBC，∴

EF

BC

=

PE

PB

，∴EF=

1

2PB

；
在Rt△PDB中，PB=

1+2

=

3

，∴EF=

3

6

；
∴DF=

DE2+EF2

=

1 2 + 1 12

=

21

6

；
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

2 2

21 6

=

42

7

．

點(diǎn)評(píng)：考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的概念，二面角的平面角，以及三角形相似．