Question

知二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），且該函數(shù)的圖象與y軸交于點（0，1），在x軸上截得的線段長為，求該二次函數(shù)解析式為________．

Answer 1

f（x）=
分析：先設出二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的表達式，再利用其對稱性、與y軸交于點（0，1）及在x軸上截得的線段長為，可列出關(guān)于a、b、c一個方程組，解出即可．
解答：設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
∵二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），可知該二次函數(shù)關(guān)于直線x=-2對稱，∴，即b=4a．
∵該函數(shù)的圖象與y軸交于點（0，1），∴f（0）=1，即c=1．
設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c與x軸相較于點（x₁，0），（x₂，0）．
令f（x）=ax²+bx+c=0，則，．
∵此二次函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段長為，
∴，即=．
∴，即b²-4ac=8a²．
聯(lián)立．解得．
∴f（x）=．
點評：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．