Question

某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內每個技工加工的合格零件數，按十位數學為莖，個位數學為葉得到的莖葉圖如圖所示，已知甲、乙兩組數據的平均數都為10．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）別求出甲、乙兩組數據的方差S_甲²和S_乙²，并由此分析兩組技工的加工水平；
（Ⅲ）質檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機抽取一名技工，對其加工的零件進行檢測，若兩人加工的合格零件數之和大于17，則稱該車間“質量合格”，求該車間“質量合格”的概率．
（注：

.

x

為數據x₁，x₂，…x_n的平均數，方差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]）

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率,莖葉圖,極差、方差與標準差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意根據平均數的計算公式分別求出m，n的值．
（Ⅱ）分別求出甲、乙兩組技工在單位時間內加工的合格零件數的方差S_甲²和S_乙²，再根據它們的平均值相等，可得方差較小的發(fā)揮更穩(wěn)定一些．
（Ⅲ）用列舉法求得所有的基本事件的個數，找出其中滿足該車間“待整改”的基本事件的個數，即可求得該車間“待整改”的概率．

解答： 解：（I）由題意可得

.

x甲

=

1

5

（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3．
再由

.

x乙

=

1

5

（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8．
（Ⅱ）分別求出甲、乙兩組技工在單位時間內加工的合格零件數的方差，
S_甲²=

1

5

[（7-10）²+（8-10）²+（10-10）²+（12-10）²+（13-10）²]=5.2，
S_乙²=

1

5

[（8-10）²+（9-10）²+（10-10）²+（11-10）²+（12-10）²]=2，
并由

.

x甲

=

.

x乙

，S_甲²＜S_乙²，可得兩組的整體水平相當，乙組的發(fā)揮更穩(wěn)定一些．
（Ⅲ）質檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機抽取一名技工，對其加工的零件進行檢測，
設兩人加工的合格零件數分別為（a，b），
則所有的（a，b）有 （7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共計25個，
而滿足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共計5個基本事件，
故滿足a+b＞17的基本事件個數為25-5=20，即該車間“待整改”的基本事件有20個，
故該車間“待整改”的概率為P=

20

25

=

4

5

．

點評：本題主要考查方差的定義和求法，古典概型問題，可以列舉出試驗發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，列舉法，是解決古典概型問題的一種重要的解題方法，屬于中檔題．