Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），直線l₁：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}$=1被橢圓C截得的弦長為2$\sqrt{2}$，且e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為$\sqrt{3}$的直線l₂被橢圓C截得弦長AB，
（1）求橢圓的方程；
（2）弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由直線l₁：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}$=1在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為-b，可得直線l₁：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}$=1被橢圓C截得的弦長為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=2\sqrt{2}$，結(jié)合已知橢圓的離心率及隱含條件求得a，b，則橢圓方程可求；
（2）由題意方程求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線l₂的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，然后利用弦長公式求得
弦AB的長度．

解答 解：（1）由直線l₁：$\frac{x}{a}$-$\frac{y}$=1被橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）截得的弦長為2$\sqrt{2}$，
得a²+b²=8，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，且a²=b²+c²，截得：a²=6，b²=2．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由$a=\sqrt{6}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得c=2．
∴橢圓C的右焦點(diǎn)為（2，0），
則直線l₂的方程為y-0=$\sqrt{3}（x-2）$，即$y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得：5x²-18x+15=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=3$．
∴|AB|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=2\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$2\sqrt{（\frac{18}{5}）^{2}-4×3}=\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了利用弦長公式求弦長，屬中檔題．