Question

19．已知圓柱軸截面為PQBA，C為底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，D為PC中點(diǎn)．
（1）若AC=PA，求證：AD⊥PB；
（2）若四邊形PQBA是正方形，C為弧AB的中點(diǎn)，PA=2，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面PAC，可得BC⊥AD，證明AD⊥PC，可得AD⊥平面PBC，即可證明AD⊥PB；
（2）由（1）知，AD⊥平面PBC，AD為點(diǎn)A到平面PBC的距離，利用等面積，即可求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：∵AB是圓的直徑，
∴BC⊥AC，
∵PA⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵AD?平面PAC，
∴BC⊥AD，
∵AC=PA，D為PC中點(diǎn)，
∴AD⊥PC，
∵BC∩PC=C，
∴AD⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，
∴AD⊥PB；
（2）解：由（1）知，AD⊥平面PBC，
∴AD為點(diǎn)A到平面PBC的距離．
∵四邊形PQBA是正方形，C為弧AB的中點(diǎn)，PA=2，
∴AC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{6}$，
∴由等面積可得AD=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點(diǎn)A到平面PBC的距離，正確運(yùn)用線面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．