Question

【題目】已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn) ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）記g（x）=f（x）+x ， 判斷g（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明之．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意令y=f（x）=xa，由于圖象過(guò)點(diǎn)（ ， ），

得 = a，a=﹣1

∴y=f（x）=x﹣1

（2）解：g（x）=f（x）+x=x+

函數(shù) 在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，

證明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，

都有

由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，

于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），

所以，函數(shù) 在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

【解析】（1）先由冪函數(shù)的定義用待定系數(shù)法設(shè)出其解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式即可；（2）函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，理由為：在區(qū)間（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根據(jù)設(shè)出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），從而得到函數(shù)為增函數(shù)．