對函數(shù)y=f（x）（x1≤x≤x2），設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是圖象上的兩端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)N滿足
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，λ≥0，點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且x=λx1+（1-λ）x2，則稱|MN|的最大值為函數(shù)的“高度”，則函數(shù)f（x）=x2-2x-1在區(qū)間[-1，3]上的“高度”為
4
4
．
分析：利用向量共線即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)及λ的取值范圍、利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出|MN|、再二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答：解：由函數(shù)f（x）=x2-2x-1及區(qū)間[-1，3]可得區(qū)間端點(diǎn)A（-1，2），B（3，2）．
∴
ON
=λ(-1，2)+(1-λ)(3，2)=（3-4λ，2），∴N（3-4λ，2）；
∵點(diǎn)N滿足
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，λ≥0，∴0≤λ≤1．
∴xM=3-4λ，yM=（3-4λ）2-2（3-4λ）-1=16λ2-16λ+2，
∴|MN|=
0+(16λ2-16λ)2
=|16λ2-16λ|=16|(λ-
1
2
)2-
1
4
|，
∵λ∈[0，1]，∴0≤(λ-
1
2
)2≤
1
4
，|(λ-
1
2
)2-
1
4
|∈[0，
1
4
]，
∴|MN|≤4．
∴函數(shù)f（x）=x2-2x-1在區(qū)間[-1，3]上的“高度”為4．
故答案為4．
點(diǎn)評：正確理解新定義、向量共線、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對函數(shù)y=f（x）=4sin（2x+
π
3
）（x∈R）有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式可改寫為y=4cos（2x-
π
6
）
②函數(shù)y=f（x）是以2π為最小正周期的周期函數(shù)
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-
π
6
，0）對稱
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-
π
6
對稱
其中正確的命題是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們給出如下定義：對函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C（C∈R），對任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
f(x1)+f(x2)
2
=C，則稱函數(shù)f（x）為“和諧函數(shù)”，稱常數(shù)C為函數(shù)f（x）的“和諧數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否為“和諧函數(shù)”？答：
 
．（填“是”或“否”）如果是，寫出它的一個(gè)“和諧數(shù)”：
 
．（4分）
（2）證明：函數(shù)g（x）=lgx，x∈[10，100]為“和諧函數(shù)”，
3
2
是其“和諧數(shù)”；
（3）判斷函數(shù)u（x）=x2，x∈R是否為和諧函數(shù)，并作出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若對函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的每一個(gè)值x1，都存在唯一的值x2，使得f（x1）f（x2）=1成立，則稱此函數(shù)為“黃金函數(shù)”，給出下列三個(gè)命題：
①y=x-2是“黃金函數(shù)”；
②y=lnx是“黃金函數(shù)”；
③y=2x是“黃金函數(shù)”，
其中正確命題的序號是
③
③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=sin(2x+
π
2
)+1，x∈R，則對函數(shù)y=f（x）描述正確的是（　�。�

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