Question

我們給出如下定義：對(duì)函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C（C∈R），對(duì)任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

2

=C，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“和諧函數(shù)”，稱(chēng)常數(shù)C為函數(shù)f（x）的“和諧數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否為“和諧函數(shù)”？答：

 

．（填“是”或“否”）如果是，寫(xiě)出它的一個(gè)“和諧數(shù)”：

 

．（4分）
（2）證明：函數(shù)g（x）=lgx，x∈[10，100]為“和諧函數(shù)”，

3

2

是其“和諧數(shù)”；
（3）判斷函數(shù)u（x）=x²，x∈R是否為和諧函數(shù)，并作出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目対“和諧函數(shù)”的定義，對(duì)任意x₁∈[-1，3]，令

f(x1)+f(x2)

2

=2，得x₂=2-x₁，而x₂∈[-1，3]，即對(duì)任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得

f(x1)+f(x2)

2

=2，即可得正確結(jié)果
（2）參照上述證明過(guò)程，對(duì)任意x₁∈（1，3），令

2x1+2x2

2

=5，得2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)∈（1，3），即可證明函數(shù)h（x）=2^x，x∈（1，3）為“和諧函數(shù)”
（3）分c＜0和c≥0兩種情況討論，對(duì)任意的x₁∈R，不存在唯一的x₂∈R，使

x12+x22

2

=C成立，所以函數(shù)u（x）=x²，x∈R不是“和諧函數(shù)”

解答：解：（1）∵對(duì)任意x₁∈[-1，3]，令

f(x1)+f(x2)

2

=2，得x₂=2-x₁，∴x₂∈[-1，3]，即對(duì)任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得

f(x1)+f(x2)

2

=2，
故正確答案為  是；  2
（2）證明：①對(duì)任意x₁∈[10，100]，令

g(x1)+g(x2)

2

=

3

2

，即

lgx1+lgx2

2

=

3

2

，
得x2=

1000

x1

．∵x₁∈[10，100]，∴x2=

1000

x1

∈[10，100]．
即對(duì)任意x₁∈[10，100]，存在唯一的x2=

1000

x1

∈[10，100]，使得

g(x)+g(x2)

2

=

3

2

．
∴g（x）=lgx為“和諧函數(shù)”，其“和諧數(shù)”為

3

2

．
參照上述證明過(guò)程證明：函數(shù)h（x）=2^x，x∈（1，3）為“和諧函數(shù)”，5是其“和諧數(shù)”；
②對(duì)任意x₁∈（1，3），令

h(x1)+h(x2)

2

=5，即

2x1+2x2

2

=5，得2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)．∵x₁∈（1，3），∴10-2x1∈(2，8)，x2=log2(10-2x1)∈(1，3)．
即對(duì)任意x₁∈（1，3），存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1，3)，使得

h(x1)+h(x2)

2

=5．
∴h（x）=2^x，x∈（1，3）為“和諧函數(shù)”，5是其“和諧數(shù)”
（3）解：函數(shù)u（x）=x²，x∈R不是“和諧函數(shù)”，證明如下：
對(duì)任意的常數(shù)C，①若C≤0，則對(duì)于x₁=1，顯然不存在x₂∈R，使得

x12+x22

2

=

1+x22

2

=C成立，
所以C（C≤0）不是函數(shù)u（x）=x²，x∈R的和諧數(shù)；
②若C＞0，則對(duì)于x1=

4C

，由

x12+x22

2

=

4C+x22

2

=C得，x₂²=-2C＜0，
即不存在x₂∈R，使

x12+x22

2

=C成立．所以C（C＞0）也不是函數(shù)u（x）=x²，x∈R的和諧數(shù)．
綜上所述，函數(shù)u（x）=x²，x∈R不是“和諧函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義型函數(shù)應(yīng)用題，綜合考查了閱讀理解能力，及函數(shù)定義域值域的求法等，難度較大，需要扎實(shí)的函數(shù)基本功，和邏輯基本功