Question

已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）證明：對任意，函數(shù)的圖象在點處的切線恒過定點；

（Ⅲ）是否存在實數(shù)的值，使得函數(shù)在上存在最大值或最小值？若存在，求出實數(shù) 的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）過定點；

（3）當或時，函數(shù)在上存在最大值或最小值.

【解析】

試題分析：（1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）當時， 1分

令得：或

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為 3分

（Ⅱ） 4分

所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：

即： 6分

即：，由得：

所以函數(shù)的圖象在點處的切線恒過定點 8分

（Ⅲ），令，

①當，即時，恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，此時在上既無最大值也無最小值. 10分

②當，即或時，

方程有兩個相異實根記為，

由得的單調(diào)遞增區(qū)間為，

由得的單調(diào)遞減區(qū)間為 11分

，

當時，由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知

所以函數(shù)不存在最大值. 12分

當時，，

由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知，

法一、

所以當且僅當，即時，函數(shù)在上才有最小值. 13分

由得：，

由韋達定理得：，化簡得：，

解得：或.

綜上得：當或時，函數(shù)在上存在最大值或最小值. 15分

法二、由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知， （接上）

所以當且僅當有解時，在上存在最小值.

即：在上有解，

由解得：或

綜上得：當或時，函數(shù)在上存在最大值或最小值. 15分

考點：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求曲線的切線方程；（3）求函數(shù)的最值.