Question

已知橢圓E：x²+2y²=6 的兩個焦點(diǎn)為F₁、F₂，A是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，△AF₁F₂的面積為

3

．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B（3，0）的直線l₁與橢圓E相交于點(diǎn)P、Q，直線AP、AQ分別與x軸相交于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)C（

5

2

，0）的直線l₂與過點(diǎn)M、N的圓G相切，切點(diǎn)為T，證明：線段CT的長為定值，并求出該定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x_o，y₀），橢圓E的方程化為

x2

6

+

y2

3

=1，由

1

2

|F₁F₂|•y₀=

3

，能求出A的坐標(biāo)．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q （x₂，y₂），直線l₁、AP、AQ的斜率分別為k、k₁、k₂，由

y=k(x-3) x2+2y2=6

，得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明線段CT的長為定值

1

2

．

解答： （本小題滿分13分）
解：（1）設(shè)A（x_o，y₀），橢圓E的方程化為

x2

6

+

y2

3

=1，
則|F₁F₂|=2

3

，由

1

2

|F₁F₂|•y₀=

3

得y₀=1，
代入橢圓E的方程得x₀=2，
故A的坐標(biāo)為（2，1）．…．（4分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q （x₂，y₂），
直線l₁、AP、AQ的斜率分別為k、k₁、k₂，
由

y=k(x-3) x2+2y2=6

，得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0，…（6分）
△=144k⁴-4×（1+2k²）（18k²-6）＞0，k²＜1，
解得：-1＜k＜1，
由題意x₁，x₂是方程的兩根，
則x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18k2-6

1+2k2

，…（7分）
k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

k(x1-3)-1

x1-2

+

k(x2-3)-1

x2-1

=

2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4

x1x2-2(x1+x2)+4

=

-4k2+4

2k2-2

=-2，…（9分）
由y-1=k₁（x-2）令y=0得x₃=

1

k1

+2，同理x₄=-

1

k2

+2，…（10分）
則 

x3+x4

2

=-

1

2k1

-

1

2k2

+2=

1

k1k2

+2，
設(shè)G（

1

k1k2

+2，t），
則|CT|²=|CG|²-|GM|²
=（(

1

k1k2

-

1

2

)2+t2-(

1

k1k2

+

1

k1

)2-t2
=-

1

k1k2

+

1

4

-

2

k1k2

-

1

k12

=

1

4

-

k1+2+k2

k12k2

=

1

4

．…（12分）
故線段CT的長為定值，該定值為

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查線段長為定值的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用，注意直線方程的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．