Question

已知拋物線的方程為y=ax²-1，直線l的方程為y=

x

2

，點A（3，-1）關于直線l的對稱點在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知P=（

1

2

，1），求過點P及拋物線與x軸兩個交點的圓的方程；
（3）已知點F（0，-

15

16

）是拋物線的焦點，P（

1

2

，1），M是拋物線上的動點，求|MP|+|MF|的最小值及此時點M的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件求出點A（3，-1）關于直線l的對稱點為B（1，3），把點B（1，3）代入y=ax²-1，解得a=4，由此能求出拋物線的方程．
（2）令y=4x²-1=0得x=±

1

2

，設拋物線與x軸的兩個交點從左到右分別為C(-

1

2

，0)，D(

1

2

，0)，由已知條件推導出PC為所求圓的直徑，由此能求出圓的方程．
（3）由F(0，-

15

16

)是拋物線的焦點，（0，-1）是拋物線的頂點，求出拋物線的準線為x=-

17

16

，過點M作準線的垂線，垂足為A，當點M為過點P所作的拋物線準線的垂線與拋物線的交點時，|MP|+|MF|取最小值，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）設點A（3，-1）關于直線l的對稱點為B（x，y），
則

x+3 2 -2• y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

解得

x=1 y=3

，（2分）
把點B（1，3）代入y=ax²-1，解得a=4，
所以拋物線的方程為y=4x²-1．（4分）
（2）令y=4x²-1=0得x=±

1

2

，
設拋物線與x軸的兩個交點從左到右分別為C、D，
則C(-

1

2

，0)，D(

1

2

，0)，（5分）
由題意知△PCD是直角三角形，
∴PC為所求圓的直徑，由此得到圓心坐標為(0，

1

2

)，
圓的半徑r=

2

2

，（7分）
故所求圓的方程為x2+(y-

1

2

)2=

1

2

．（8分）
（3）∵F(0，-

15

16

)是拋物線的焦點，（0，-1）是拋物線的頂點，
∴拋物線的準線為y=-

17

16

，（9分）
過點M作準線的垂線，垂足為A，由拋物線的定義知|MF|=|MA|，
∴|MP|+|MF|=|MP|+|MA|≥|PA|，
當且僅當P、M、A三點共線時“=”成立，（11分）
即當點M為過點P所作的拋物線準線的垂線與拋物線的交點時，
|MP|+|MF|取最小值，
∴(|MP|+|MF|)min=1-(-

17

16

)=

33

16

，（13分）
這時點M的坐標為(

1

2

，0)．（14分）

點評：本題考查拋物線方程和圓的方程的求法，考查|MP|+|MF|的最小值及此時點M的坐標的求法，解題時要認真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．