Question

如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過左焦點(diǎn)F（-

3

，0）且斜率為k的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線l：x+4ky=0交橢圓E于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)M在直線l上；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)及b²=a²-c²聯(lián)立求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程，和（Ⅰ）中求出的橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得M坐標(biāo)，代入直線l：x+4ky=0驗(yàn)證即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，由△BDM的面積是△ACM面積的3倍推得M為OC中點(diǎn)，聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得M坐標(biāo)，由M的坐標(biāo)相等列式求得k的值．

解答： （Ⅰ）解：由題意可知e=

c

a

=

3

2

，c=

3

，于是a=2，
∴b2=a2-c2=22-(

3

)2=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
聯(lián)立

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

，得(4k2+1)x2+8

3

k2x+12k2-4=0．
x1+x2=

-8 3 k2

4k2+1

，x0=

x1+x2

2

=

-4 3 k2

4k2+1

，y0=k(x0+

3

)=

3 k

4k2+1

，
∴M（

-4 3 k2

4k2+1

，

3 k

4k2+1

）．
∵

-4 3 k2

4k2+1

+4k•

3 k

4k2+1

=0，
∴M在直線l上；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，
若△BDM的面積是△ACM面積的3倍，
則|DM|=3|CM|，
∵|OD|=|OC|，于是M為OC中點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₃，y₃），則y0=

y3

2

．
聯(lián)立

x=-4ky x2 4 +y2=1

，解得y3=±

1

4k2+1

．
于是

1

2 4k2+1

=

3 |k|

4k2+1

，解得k2=

1

8

，
∴k=±

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．