Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．已知點M（

3

，

2

2

）在橢圓上，且點M到兩焦點距離之和為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)與MO（O為坐標原點）垂直的直線交橢圓于A，B（A，B不重合），求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把點M（

3

，

2

2

）代入，能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)AB的方程為y=-

6

x+m，聯(lián)立

x2 4 + y2 2 =1 y=- 6 x+m

，得13x²-4

6

mx+2m²-4=0，由△＞0求出0≤m²＜26，由此能求出

OA

•

OB

的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0）F₂（c，0）．
點M（

3

，

2

2

）在橢圓上，且點M到兩焦點距離之和為4，
∴2a=4，a=2，∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，
把點M（

3

，

2

2

）代入，得

3

4

+

1

2b2

=1，
解得b²=2，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵k_MO=

2 2

3

=

6

6

，與MO（O為坐標原點）垂直的直線交橢圓于A，B（A，B不重合），
∴設(shè)AB的方程為y=-

6

x+m，
聯(lián)立

x2 4 + y2 2 =1 y=- 6 x+m

，消去y，得：
13x²-4

6

mx+2m²-4=0，
△=(4

6

m)2-4×13×(2m2-4)
=8（12m 2 -13m²+26）＞0，
解得m²＜26，∴0≤m²＜26，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4 6 m

13

，x₁x₂=

2m2-4

13

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=7x₁x₂-

6

m（x₁+x₂）+m²=

3m2-28

13

，
∴求

OA

•

OB

的取值范圍是[-

28

13

，

50

13

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式和韋達定理的合理運用．