Question

9．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=90°，過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則$\frac{{|{\overrightarrow{MN}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|$\overrightarrow{MN}$|=a+b，由余弦定理可得|$\overrightarrow{AB}$|²=（a+b）²-3ab，進而根據基本不等式，求得|$\overrightarrow{AB}$|的取值范圍，從而得到本題答案

解答 解：設|AF|=a，|BF|=b，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|$\overrightarrow{MN}$|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|$\overrightarrow{AB}$|²=a²+b²-2abcos90°=a²+b²，
配方得，|$\overrightarrow{AB}$|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$（a+b）²
得到|$\overrightarrow{AB}$|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{{|{\overrightarrow{MN}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{|{\overrightarrow{MN}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點評 本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求$\frac{{|{\overrightarrow{MN}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$的最大值，著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質、基本不等式求最值和余弦定理的應用等知識，屬于中檔題．