Question

11．已知log₃（x+y+4）＞log₃（3x+y-2），若x-y＜λ恒成立，則λ的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，10]
• B． （-∞，10）
• C． （10，+∞）
• D． [10，+∞）

Answer 1

分析 要使不等式成立，則有$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x+y+4＞3x+y-2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x＜3\end{array}\right.$，設z=x-y，則y=x-z．作出不等式組對應的可行域如圖所示的陰影部分（不包括左右邊界），通過平移直線（目標函數）利用線性規(guī)劃的有關知識即可得出．

解答 解：要使不等式成立，則有$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x+y+4＞3x+y-2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x＜3\end{array}\right.$，
設z=x-y，則y=x-z．作出不等式組對應的可行域如圖所示的陰影部分（不包括左右邊界）：
平移直線y=x-z，由圖象可知當直線y=x-z經過點B時，直線在y軸上的截距最小，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y+4=0\\ x=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}y=-7\\ x=3\end{array}\right.$，代入z=x-y得z=x-y=3+7=10，
又因為可行域不包括點B，∴z＜10，
∴要使x-y＜λ恒成立，則λ的取值范圍是λ≥10，即[10，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查了對數函數的單調性、線性規(guī)劃的有關知識、不等式的性質，考查了數形結合思想方法、計算能力，屬于中檔題．