Question

19．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{a}_{n}^{2}}$（n∈N^*），則b₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出b_n+1=$\frac{1}{2-_{n}}$，b₁=$\frac{1}{2}$，從而得到數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是以-2為首項，-1為公差的等差數(shù)列，由此能求出b₂₀₁₅．

解答 解：∵a_n+b_n=1，且b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{a}_{n}^{2}}$，∴b_n+1=$\frac{1}{2-_{n}}$，
∵a₁=$\frac{1}{2}$，且a₁+b₁=1，∴b₁=$\frac{1}{2}$，
∵b_n+1=$\frac{1}{2-_{n}}$，∴$\frac{1}{_{n+1}-1}$-$\frac{1}{_{n}-1}$=-1，
又∵b₁=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{_{1}-1}$=-2．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是以-2為首項，-1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{_{n}-1}$=-n-1，∴b_n=$\frac{n}{n+1}$．則b₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點評 本題考查數(shù)列的第2015項的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．