【題目】已知數(shù)列各項不為0，前項和為.

（1）若，，求數(shù)列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，已知，分別求和的表達式；

（3）證明：是等差數(shù)列的充要條件是：對任意，都有：.

【答案】（1）；（2） 4（）n﹣4，；（3）證明見解析

【解析】

根據(jù)與的關系式， ，計算即可得出答案.

（2）將各項配湊成二項式展開式的形式，再利用二項式展開式的性質計算即可;關于，利用倒序求和法，再用二項式展開式化簡，即可得出答案.

（3）必要性：利用裂項相消法化簡即可得證；充分性：兩次作差變形即可說明其為等差數(shù)列.

（1） 因為，所以

當時，

當時，有

即

所以數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列.

所以.

（2），

所以

所以

所以

①

②

①+②：

（3）證明：先證必要性.設數(shù)列的公差為,若，則不等式顯然成立.

若，則

.

再證充分性：依題意有，

，

化簡得：

同理可得：

得：，即.

所以數(shù)列為等差數(shù)列.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中，

（1）當時，求使得等式成立的的取值范圍；

（2）當時，求使得等式成立的的取值范圍；

（3）求的區(qū)間上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知一列函數(shù)，設直線與的交點為，點在軸和直線上的射影分別為，記的面積為，的面積為.

（1）求的最小值，并指出此時的取值；

（2）在中任取一個函數(shù)，求該函數(shù)在上是增函數(shù)或在上是減函數(shù)的概率；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某社會機構為了調查對手機游戲的興趣與年齡的關系，通過問卷調查，整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表：

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認為對手機游戲的興趣程度與年齡有關?

（2）若已經(jīng)從40歲以下的被調查者中用分層抽樣的方式抽取了5名，現(xiàn)從這5名被調查者中隨機選取3名，求這3名被調查者中恰有1名對手機游戲無興趣的概率.

附：

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD，，點E，F為PC，PA的中點．

（1）求證：平面BDE⊥平面ABCD；

（2）二面角E—BD—F的大��；

（3）設點M在PB(端點除外)上,試判斷CM與平面BDF是否平行，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是

A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某沿海地區(qū)計劃鋪設一條電纜聯(lián)通A，B兩地，A地位于東西方向的直線MN上的陸地處，B地位于海上一個燈塔處，在A地用測角器測得，在A地正西方向4km的點C處，用測角器測得.擬定鋪設方案如下：在岸MN上選一點P，先沿線段AP在地下鋪設，再沿線段PB在水下鋪設.預算地下、水下的電纜鋪設費用分別為2萬元/km和4萬元/km，設，，鋪設電纜的總費用為萬元.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）試問點P選在何處時，鋪設的總費用最少，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”．某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午這一時間段內通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，例如：10點04分,記作時刻64．

（1）估計這600輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；

（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中,在之間通過的車輛數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數(shù)結果保留到整數(shù)．

參考數(shù)據(jù)：若,則；

；．

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