Question

8．已知函數(shù)f（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，問是否存在λ，使函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 求f′（x）=x（4x²+4-2λ），所以根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得到：x∈（-∞，-1）時(shí)，4x²+4-λ2≥0；x∈（-1，0）時(shí)，4x²+4-2λ≤0，這樣即可得出x=-1時(shí)4x²+4-2λ=0，代入x=-1，求出λ即可．

解答 解：f′（x）=x（4x²+4-2λ）；
要使f（x）在（-∞，-1）是減函數(shù)，在（-1，0）是增函數(shù)，則：
x∈（-∞，-1）時(shí)f′（x）≤0，x∈（-1，0）時(shí)f′（x）≥0；
∴x∈（-∞，-1）時(shí)，4x²+4-2λ≥0；x∈（-1，0）時(shí)，4x²+4-2λ≤0；
∴x=-1時(shí)，4+4-2λ=0，λ=4；
即存在λ=4，使函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，以及要熟悉二次函數(shù)的圖象．