Question

【題目】函數(shù)角度看，可以看成是以為自變量的函數(shù)，其定義域是.

（1）證明：

（2）試?yán)��?/span>1的結(jié)論來證明：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的展開式最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的展開式最中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先根據(jù)組合數(shù)公式求出、，計(jì)算的值，從而證得結(jié)論；

（2）設(shè)，由（1）可得，令，可得

（等號(hào)不成立），故有當(dāng)時(shí)，成立；

當(dāng)時(shí)，成立.故最大，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，同理可證，從而證得結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，

所以.

則成立.

（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，，

所以.令，所以，

則（等號(hào)不成立），所以時(shí)，成立，

反之，當(dāng)時(shí)，成立.

所以最大，即展開式最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，其最中間有兩項(xiàng)且，

由（1）知，顯然，

，令，可得，

，當(dāng)時(shí)，，且這兩項(xiàng)為二項(xiàng)展開式最中間兩項(xiàng)的系數(shù)，

所以時(shí)，成立；

由對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，成立，

又，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的展開式最中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.