Question

設(shè)，函數(shù) 

（1）當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) 在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增；

（3） 

【解析】

試題分析：(1)寫出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)得斜率，求切點(diǎn)，進(jìn)而得直線方程，注意解析式的取舍（時(shí)）；（2）函數(shù)為分段函數(shù)，分段判單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）分和兩種情況進(jìn)行分析，在第二種情況下要對(duì)與區(qū)間進(jìn)行比較，又分三種情況進(jìn)行判斷單調(diào)性，求最小值

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，令得，

所以切點(diǎn)為，切線斜率為1，

所以曲線在處的切線方程為： 

（2）當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)，，

在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增；

綜上，在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增．

（3）①當(dāng)時(shí)，， 

，恒成立． 在上增函數(shù)．

故當(dāng)時(shí)，

 ②  當(dāng)時(shí)，，

（）

ⅰ)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí) 

ⅱ)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在時(shí)為正數(shù)，

所以在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)

故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí) 

ⅲ)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)， 

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和時(shí)的最小值都是 

所以此時(shí)函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)的最小值為，而，

所以此時(shí)的最小值為 

考點(diǎn)：1 求切線方程；2 函數(shù)的單調(diào)性判斷（導(dǎo)數(shù)法）；3 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值