Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，a₁=2，且a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若${b_n}={log_{\sqrt{2}}}{a_n}-1，{c_n}={a_n}•{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知的數(shù)列遞推式變形，因式分解后得到數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的{a_n}的通項(xiàng)公式代入$_{n}=lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}-1$求得b_n，再把a(bǔ)_n、b_n代入c_n=a_n•b_n后利用錯位相減法求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，
∴${{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n}{a}_{n+1}-2{{a}_{n}}^{2}=0$，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，∴2a_n-a_n+1=0，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
又∵a₁=2，
∴${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}={2}^{n}$；
（Ⅱ）$_{n}=lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}-1=lo{g}_{\sqrt{2}}{2}^{n}-1=2n-1$，
${c}_{n}={a}_{n}•_{n}=（2n-1）•{2}^{n}$，
${S}_{n}=1×{2}^{1}+3×{2}^{2}+5×{2}^{3}+…+（2n-1）×{2}^{n+1}$，
那么$2{S}_{n}=1×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+（2n-3）×{2}^{n}+（2n-1）×{2}^{n+1}$，
兩式作差得：$-{S}_{n}=1×{2}^{1}+2×{2}^{2}+2×{2}^{3}+…+2×{2}^{n}-（2n-1）×{2}^{n+1}$
=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=$2+2×\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（2n-1）×{2}^{n+1}$
=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
=（3-2n）2ⁿ⁺¹-6．
故${S}_{n}=（2n-3）{2}^{n+1}+6$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．