Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且(),數(shù)列滿足,,對任意,都有。
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
（2）令.
①求證:；
②若對任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

（1），；（2）。

試題分析：（1）根據(jù)利用求出數(shù)列的遞推關(guān)系式，再利用累乘法數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法求出，易知，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可知；  
（3）把代入整理得，然后參變量分離
得，構(gòu)造函數(shù)，求的最大值，或者是直接構(gòu)造函數(shù)
，然后對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題。
（1）,
∵，∴ ()，
兩式相減得，()
∴，即( ),     
∴()，
又,也滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式()。
由，知數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)、公比均為，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式。
（2）（1）∴    ①
∴         ②
由①-②,得,
∴ 
又恒正,
故是遞增數(shù)列,， ∴ 。
又不等式
即，即（）恒成立.
方法一：設(shè)（），
當(dāng)時，恒成立，則滿足條件；
當(dāng)時，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；
當(dāng)時，由于對稱軸，則在上單調(diào)遞減，
恒成立，則滿足條件，
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是。
方法二：也即（）恒成立，
令．則,  
由，單調(diào)遞增且大于0，∴單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，且，故，∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是。   及累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和；（3）數(shù)列單調(diào)性的判斷；（4）構(gòu)造函數(shù)解決不等式恒成立問題。