各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}，滿足a1=1，an+12-an2=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明++…+≤對一切n∈N+恒成立．
【答案】分析：（Ⅰ）題意知an2為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，由此可知
（Ⅱ）只需證：．由數(shù)學歸納法進行證明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，則
（Ⅱ）只需證：．
1當n=1時，左邊=1，右邊=1，所以命題成立．
當n=2時，左邊＜右邊，所以命題成立
②假設n=k時命題成立，即，
當n=k+1時，左邊=．

=
=．命題成立
由①②可知，++…+≤對一切n∈N+恒成立．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要注意數(shù)學歸納法的證明技巧．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}，滿足a1=1，an+12-an2=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤
2n-1
對一切n∈N+恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且滿足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）證明{Sn2}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{
1
S
2
n
S
2
n+1
}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，Sn=
1
2
anan+1（n∈N+），其中Sn是數(shù)列{an}的前n項的和．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）已知p（≥2）是給定的某個正整數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn=1，
bk+1
bk
=
k-p
ak+1

（k=1，2，3…，p-1），求bk；
（3）化簡b1+b2+b3+…+bp．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•重慶模擬）已知{an}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，Sn為其前n項的和，且a1=1，Sn=
1
2
(an+
1
an
)．
（I）分別求S22，S32的值；
（II）求數(shù)列{an}的通項an；
（III）求證：
1
2S1
+
1
3S2
+…+
1
(n+1)Sn
＜2(1-
1
Sn+1
)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2(Sn+1)=an2+an．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2bn，數(shù)列{cn}滿足cn=
an(n為奇數(shù))
bn(n為偶數(shù))
，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，當n為偶數(shù)時，求Tn；
（Ⅲ）同學甲利用第（Ⅱ）問中的Tn設計了一個程序如圖，但同學乙認為這個程序如果被執(zhí)行會是一個“死循環(huán)”（即程序會永遠循環(huán)下去，而無法結(jié)束）．你是否同意同學乙的觀點？請說明理由．

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