設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（1，1），離心率e=
6
3
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若直線l是圓O：x2+y2=1的任意一條切線，且直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求證：
OA
•
OB
為定值．
（Ⅰ）由題意可得
e=
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
1
a2
+
1
b2
=1
，解得
a2=4
b2=
4
3
，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
3y2
4
=1．
（Ⅱ）①當(dāng)圓O的切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
則圓心O到直線l的距離d=
|m|
1+k2
，
∴1+k2=m2．
將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立
y=kx+m
x2
4
+
3y2
4
=1
，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m2-4=0．
設(shè)直線l與橢圓C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，
則x1+x2=-
6km
1+3k2
，x1x2=
3m2-4
1+3k2
．
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•
3m2-4
1+3k2
+km(-
6km
1+3k2
)+m2
=
4m2-4-4k2
1+3k2

=0，
②當(dāng)圓的切線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證得
OA
•
OB
=0．
綜合上述可得，
OA
•
OB
為定值0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點(diǎn)為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F1F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過(guò)A．Q．F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案