Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF₁|=3|PF₂|，則該雙曲線離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a進(jìn)而根據(jù)|PF₁|=3|PF₂|，求得a=|PF₂|，同時(shí)利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，推斷出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，進(jìn)而求得a和c的不等式關(guān)系，分析當(dāng)p為雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，

c

a

=2且雙曲線離心率大于1，可得最后答案．

解答：解根據(jù)雙曲線定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即3|PF₂|-|PF₂|=2a．
∴a=|PF₂|，|PF₁|=3a
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜4|PF₂|，c＜2|PF₂|=2a，
∴

c

a

＜2，
當(dāng)p為雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，

c

a

=2
又∵雙曲線e＞1，
∴1＜e≤2
故答案為：1＜e≤2．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，三角形邊與邊之間的關(guān)系．解題的時(shí)候一定要注意點(diǎn)P在橢圓頂點(diǎn)位置時(shí)的情況，以免遺漏答案．