Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的反函數(shù)的圖象上的點（1，0）處的切線方程；
（Ⅱ） 證明：曲線y=f（x）與曲線y=有唯一公共點．
（Ⅲ） 設a＜b，比較f（）與的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出其反函數(shù)，利用導數(shù)得出切線的斜率即可；
（II）令h（x）=f（x）-=，利用導數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出；
（III）利用作差法得 ===，構造函數(shù)，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可證明．
解答：（I）解：函數(shù)f（x）=e^x的反函數(shù)為g（x）=lnx，
∵，∴g^′（1）=1，
∴f（x）的反函數(shù)的圖象上的點（1，0）處的切線方程為y-0=1×（x-1），即y=x-1；
（Ⅱ）證明：令h（x）=f（x）-=，
則h^′（x）=e^x-x-1，
h^′′（x）=e^x-1，
當x＞0時，h^′′（x）＞0，h^′（x）單調(diào)遞增；當x＜0時，h^′′（x）＜0，h^′（x）單調(diào)遞減，
故h^′（x）在x=0取得極小值，即最小值，
∴h^′（x）≥h^′（0）=0，
∴函數(shù)y=h（x）在R上單調(diào)遞增，最多有一個零點，
而x=0時，滿足h（0）=0，是h（x）的一個零點．
所以曲線y=f（x） 與曲線y=有唯一公共點（0，1）．
（Ⅲ） =
=
=，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），則g^′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g^′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g^′（0）=0，
∴g^′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）g（x）＞0．
∵當x＞0時，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴，
即當a＜b時，．
點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程得根的個數(shù)、比較兩個實數(shù)的大小等基礎知識，考查了分類討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計算能力．