Question

18．函數(shù)f（x）定義域為D，若滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調函數(shù)；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]；那么就稱y=f（x）為“域倍函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=log_a（a^x+2t）（a＞0，a≠1）是“域倍函數(shù)”，則t的取值范圍為$-\frac{1}{8}＜t＜0$．

Answer 1

分析 由題意利用“域倍函數(shù)”定義有$\left\{\begin{array}{l}f（a）=2a\\ f（b）=2b\end{array}\right.$，即方程f（x）=2x有兩個不同實根，令a^x=u＞0，則u²-u-2t=0有兩個不同正實根，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=1+8t＞0}\\{-2t＞0}\end{array}\right.$，由此解得t的范圍．

解答 解：根據(jù)函數(shù)$f（x）={log_a}（{a^x}+2t）（a＞0，a≠1）$是增函數(shù)，
由“域倍函數(shù)”定義有$\left\{\begin{array}{l}f（a）=2a\\ f（b）=2b\end{array}\right.$，
即方程f（x）=2x有兩個不同實根，即方程a^x+2t=a^2x有兩個不同實根．
令a^x=u＞0，則u²-u-2t=0有兩個不同正實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1+8t＞0}\\{-2t＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{8}$＜t＜0，
故答案為：$-\frac{1}{8}＜t＜0$．

點評 本題考查函數(shù)的值域的求法，解題的關鍵是正確理解“域倍函數(shù)”，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，屬于中檔題．