Question

9．設(shè)$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$為單位向量，非零向量$\overrightarrow a=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}，x，y∈R$，若$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$的夾角為$\frac{π}{4}$，則$\frac{|x|}{{\overrightarrow{|a|}}}$的最大值等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{x}^{2}{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{y}^{2}{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+2xy•cos\frac{π}{4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{2}xy}$，
只考慮x＞0，
則$\frac{|x|}{{\overrightarrow{|a|}}}$=$\frac{|x|}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{2}xy}}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{y}{x}）^{2}+\sqrt{2}（\frac{y}{x}）}+1}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}}$$≤\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{x}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴則$\frac{|x|}{{\overrightarrow{|a|}}}$的最大值等于$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．