Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．
（Ⅰ）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角

專題：空間角,空間向量及應用

分析：對第（Ⅰ）問，以O為原點，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由題設得到向量

PD

與

BC

的坐標，再利用公式cosθ=

m • n

| m || n |

求解；
對第（Ⅱ）問，先設法求得平面PAB與平面ABC的法向量

m

，

n

，再利用公式cosθ=

m • n

| m || n |

，探求二面角P-AB-C的大�。�

解答： 解：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

，
由平面幾何知識，得OD=OC=1，BO=AO=2．
以O為原點，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立如右圖所示的空間直角坐標系，
則各點坐標分別為O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），
C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，

2

）．
（I）由上易知

PD

=(0，-1，-

2

)，

BC

=(-1，-2，0)，
∴

|PD|

=

3

，

|BC|

=

5

，

PD

•

BC

=2，
∴cos＜

PD

，

BC

＞=

PD • BC

|PD| |BC|

=

2 15

15

，
故直線PD與BC所成的角的余弦值為

2 15

15

．
（Ⅱ）設平面PAB的一個法向量為

n

=（x，y，z），
由（I）得

AB

=(-2，2，0)，

AP

=(-2，0，

2

)，
又由

n • AB =0 n • AP =0

得

x= y z= 2 x

．
令x=1，得

n

=(1，1，

2

)，從而|

n

|=2．
由圖可知，平面ABC的一個法向量為

m

=(0，0，1)，從而|

m

|=1．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

2

．
顯然二面角P-AB-C為銳角，∴所求二面角P-AB-C的大小為45°．

點評：1、本題主要考查了利用空間向量法解決空間角問題，前提是建立適當?shù)目臻g直角坐標系，標出各點的坐標，關(guān)鍵是利用公式cosθ=

m • n

| m || n |

求解．
2、把握好角的范圍
（1）兩異面直線所成角的范圍是(0，

π

2

]；
（2）二面角大小的范圍是[0，2π]．常根據(jù)原幾何體中二面角兩半平面的張開程度，或者兩法向量在坐標系中的大致指向來確定所求二面角與兩半平面法向量夾角的關(guān)系．