Question

已知函數(shù)滿足：對任意，都有成立，且時，．
（1）求的值，并證明：當(dāng)時，；
（2）判斷的單調(diào)性并加以證明；
（3）若在上遞減，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）2；（2）函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）

試題分析：（1）用賦值法可求得的值。，則，那么.用賦值法令中的，整理出的關(guān)系式，用表示出，因為有的范圍所以可求出的范圍。（2）由（1）知時，，，時，，所以在R上。在R上任取兩個實數(shù)并可設(shè)，根據(jù)已知可用配湊法令在代入上式找出的關(guān)系。在比較的大小時，在本題中采用作商法與1比較大小。（3）由（２）知函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時，函數(shù)在上也是增函數(shù)，不合題意故舍。當(dāng)時在上單調(diào)遞減，此時只需的最大值小于等于k即可。
試題解析：（1）令,則,
即,解得或
若，令,則,
與已知條件矛盾.
所以
設(shè)，則，那么.
又

，從而．
（２）函數(shù)在上是增函數(shù)．
設(shè)，由（１）可知對任意
且





故，即
函數(shù)在上是增函數(shù)。
（３）由（２）知函數(shù)在上是增函數(shù)．
函數(shù)在上也是增函數(shù)，
若函數(shù)在上遞減，
則時，，
即時，．
時，