已知定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，1]時，數(shù)學公式．
（1）求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明；
（3）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍．

解：（1）設(shè)x∈[-1，0），則-x∈（0，1]
∵當x∈（0，1]時，
∴
∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=
∵f（0）=0
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式為f（x）=；
（2）f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，證明如下：
∵當x∈（0，1]時，，
∴
∵x∈（0，1]，∴f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
（3）記g（x）=f（x）-x，則g（x）為（0，1]上的單調(diào)遞減函數(shù)．
∴g（x）∈[g（1），g（0））?g（x）∈[-，）．
∵g（x）在[-1，1]上為奇函數(shù)，∴當x∈[-1，0）時g（x）∈（-，]．
又g（0）=0，
∴g（x）∈[-，]，即b∈[-，]．
分析：（1）設(shè)x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，利用當x∈（0，1]時，，函數(shù)為奇函數(shù)，可求函數(shù)的解析式；
（2）利用導數(shù)，判斷導數(shù)小于0，即可求得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）將b表示為x的函數(shù)，利用單調(diào)性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得實數(shù)b的取值范圍
點評：本題考查單調(diào)性與奇偶性，考查函數(shù)的解析式，考查單調(diào)性的證明，考查函數(shù)的值域，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

10、已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
．給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為[0，4]；
②關(guān)于x的方程f(x)=(
1
2
)n(n∈N*)有2n+4個不相等的實數(shù)根；
③當x∈[2n-1，2n]（n∈N*）時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S=2；
④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立，
其中你認為正確的所有結(jié)論的序號為
①③
①③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（附加題）已知定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），在x∈（0，1]時，f（x）=
2x4x+1
．
（1）當x∈[-1，1]時，求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=-2x•f（x）（-1＜x＜0），求函數(shù)y=g（x）的值域；
（3）若關(guān)于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（　　）
A．[-1，1]B．[-3，-1]C．[-2，0]D．不能確定

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年四川省眉山市彭山二中高一（下）第一次月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（ ）
A．[-1，1]
B．[-3，-1]
C．[-2，0]
D．不能確定

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