Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c是以d為公差的等差數(shù)列，，且a＞0，d＞0．設(shè)x₀為f（x）的極小值點(diǎn)，在[1-

2b

a

，0]上，f′（x）在x₁處取得最大值，在x₂處取得最小值，將點(diǎn)（x₀，f（x₀）），（x₁，f′（x₁）），（x₂，f′（x₂，f（x₂））依次記為A，B，C．
（I）求x₀的值；
（II）若△ABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a，d的值．

Answer 1

分析：（I）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，把2b=a+c代入整理．令f‘（x）=0得x=-1或x=-

c

a

，故可根據(jù)-

c

a

＜x＜-1和x＞-1時(shí)f‘（x）于0的關(guān)系，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的最小值時(shí)x的值．
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，根據(jù)對稱軸的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的最大值和最小值及取得最值時(shí)的x的值，從而確定A，B，C的坐標(biāo)，再由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸，得到a與d的關(guān)系，再由三角形ABC的面積為2+

3

和b=a+d，c=a+2d得到d的方程，最后求出a，d的值．

解答：解：（I）解：∵2b=a+c
∴f'（x）=ax²+2bx+x=ax²+（a+c）x+c=（x+1）（ax+c）
令f'（x）=0，得x=-1或x=-

c

a

∵a＞0，d＞0
∴0＜a＜b＜c
∴

c

a

＞1，-

c

a

＜-1
當(dāng)-

c

a

＜x＜-1時(shí)，f‘（x）＜0，
當(dāng)x＞-1時(shí)，時(shí)，f‘（x）＞0，
所以f（x）在x=-1處取得最小值即x₀=-1
（II）∵f'（x）=ax²+2bx+x（a＞0）
∴函數(shù)f'（x）的圖象的開口向上，對稱軸方程為x=-

b

a

由-

b

a

＞1知|（1-

2b

a

）-（-

b

a

）|＜|0-（-

b

a

）|
∴f'（x）在[1-

2b

a

，0]上的最大值為f'（0）=c，即x₁=0．
又由

b

a

＞1，知-

b

a

∈[1-

2b

a

，0]
∴當(dāng)x=-

b

a

時(shí)，
f‘（x）取得最小值為f‘（-

b

a

）=-

d2

a

，即x₂=-

b

a

∵f（x₀）=f（-1）=-

a

3

∴A（-1，-

a

3

），B（0，c），C（-

b

a

，-

d2

a

）
由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸，
所以-

a

3

=-

d2

a

，即a²=3d①
又由三角形ABC的面積為2+

3

得

1

2

（-1+

b

a

）•（c+

a

3

）=2+

3

利用b=a+d，c=a+2d，得

2

3

d+

d2

a

=2+

3

②
聯(lián)立①②可得d=3，a=3

3

．

點(diǎn)評：本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值，等差數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力