Question

4．如圖所示，由圓x²+y²=9上一點M向x軸引垂線，垂足為N，設P為線段MN的中點，當點M變動時，選擇適當?shù)膮��?shù)，求點P的軌跡的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

分析 由題意設出圓的參數(shù)方程，得到M坐標，利用中點坐標公式求得P的坐標，則點P的軌跡的參數(shù)方程可求，化參數(shù)方程為普通方程，可得P的軌跡為橢圓．

解答 解：由題意設M（3cosθ，3sinθ）（θ為參數(shù)），
則N（3cosθ，0），
∵P為線段MN的中點，∴P（3cosθ，$\frac{3}{2}sinθ$），
∴點P的軌跡的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\frac{3}{2}sinθ}\end{array}\right.$．
由為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\frac{3}{2}sinθ}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}=cosθ}\\{\frac{2y}{3}=sinθ}\end{array}\right.$，
兩式平方作和得：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{4{y}^{2}}{9}=1$，表示焦點在x軸上的橢圓．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查了圓與橢圓的參數(shù)方程，是基礎題．