【題目】如圖所示,在三棱柱中,是中點,平面,平面與棱交于點,,.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)若與平面所成角的正弦值為,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)先證明平面,再證明.(2)建立空間直角坐標系,設(shè),,利用向量證明,即證.(3)先利用向量法求得,再解方程即得的值.
(1)證明:在三棱柱 中,
側(cè)面 為平行四邊形,
所以 .
又因為 平面,平面,
所以 平面.
因為 平面,且平面平面,
所以 .
(2)證明:在△中,因為 ,是的中點, 所以.
因為平面,如圖建立空間直角坐標系.
設(shè),,在△中 ,,
所以 ,所以 ,,,.
所以 ,.
所以 ,所以 .
(3)解:因為 , 所以 ,即.
因為 ,所以 .
設(shè)平面的法向量為 ,
因為 ,即,
令 ,則,,
所以 .
因為
所以 ,即 ,
所以 或,即 或.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)定義:“對于在區(qū)域上有定義的函數(shù)和,若滿足恒成立,則稱曲線為曲線在區(qū)域上的緊鄰曲線”.試問曲線與曲線是否存在相同的緊鄰直線,若存在,請求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面上動點到點的距離與到直線的距離之比為,記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)是曲線上的動點,直線的方程為.
①設(shè)直線與圓交于不同兩點, ,求的取值范圍;
②求與動直線恒相切的定橢圓的方程;并探究:若是曲線: 上的動點,是否存在直線: 恒相切的定曲線?若存在,直接寫出曲線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:極坐標與參數(shù)方程
在極坐標系下,已知圓O:和直線
(1)求圓O和直線l的直角坐標方程;
(2)當時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標.
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【題目】北京時間3月15日下午,谷歌圍棋人工智能與韓國棋手李世石進行最后一輪較量, 獲得本場比賽勝利,最終人機大戰(zhàn)總比分定格.人機大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注,某學(xué)校社團為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況,隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有的把握認為“圍棋迷”與性別有關(guān)?
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名學(xué)生,抽取3次,記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列,期望和方差.
附: ,其中.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的部分圖象如圖,是圖象的一個最低點,圖象與軸的一個交點坐標為,與軸的交點坐標為.
(1)求,,的值;
(2)關(guān)于的方程在上有兩個不同的解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列存在量詞命題的真假:
(1)有些實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù);
(2)存在一個三角形不是等腰三角形;
(3)有些菱形是正方形;
(4)至少有一個整數(shù)是4的倍數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為, , 當時,, 則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)u(x)=)
(Ⅰ)若曲線u(x)與直線y=0相切,求a的值.
(Ⅱ)若e+1<a<2e,設(shè)f(x)=|u(x)|﹣,求證:f(x)有兩個不同的零點x1,x2,且|x2﹣x1|<e.(e為自然對數(shù)的底數(shù))
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