Question

如圖，在五棱錐S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=

3

，BC=DE=1，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°．
（1）證明：BC⊥平面SAB；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直，由于△ABE是等腰三角形易得BC⊥BA．由SA⊥底面ABCDE，BC?底面ABCDE，得SA⊥BC，又SA∩BA=A，推出BC⊥平面SAB．
（2）以A為原點，AB、AD、AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，得到各向量的坐標，然后設出法向量的坐標，利用數(shù)量積為0 解得其法向量，利用公式可解得二面角B-SC-D的余弦值為-

3

4

解答：（1）證明：由題意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120°，所以∠ABE=30°．
又∠CBE=60°，∴∠ABC=90°，所以BC⊥BA．
∵SA⊥底面ABCDE，BC?底面ABCDE，
∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，∴BC⊥平面SAB．（5分）
（2）解：由（1）得∠EAD=30°故∠BAD=90°，
以A為原點，AB、AD、AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系（如圖），

則

SB

=(

3

，0，-

3

)，

SC

=(

3

，1，-

3

)，

SD

=(0，2，-

3

)，
設平面SBC的法向量為

m

=(x，y，z)，設平面SCD的法向量為

n

=(x1，y1，z 1)
由

m • SB = 3 x- 3 z=0 n •SC= 3 x+y- 3 z=0

?

x=z y=0

令z=1，則

m

=(1，0，1)，同理可求，

n

=(1，

3

，2)
∴cos(

m

，

n

)=

m • n

| m |•| n |

=

1+2

2 •2 2

=

3

4

，
∴二面角B-SC-D的余弦值為-

3

4

．（13分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是個中檔題．