Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，設(shè)P、Q為底面△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且

AP

=

2

5

AB

+

1

5

AC

，

AQ

=

2

3

AB

+

1

4

AC

，則V_S-ABP：V_S-ABQ=

4

5

．

Answer 1

分析：過P作AB、AC的平行線PD、PE，得到平行四邊形ADPE，利用向量加法法則可得

AP

=

AD

+

AE

，結(jié)合題意得到

AD

=

1

5

AC

且

AE

=

2

5

AB

，因此P到AB的距離等于點(diǎn)C到AB距離的

1

5

，所以△ABP的面積等于△ABC面積的

1

5

．同理△ABQ的面積等于△ABC面積的

1

4

，由此結(jié)合錐體體積公式即可算出V_S-ABP：V_S-ABQ的值．

解答：解：過P作AB、AC的平行線PD、PE得平行四邊形ADPE
則向量

AP

=

AD

+

AE

∵

AP

=

2

5

AB

+

1

5

AC

，
∴由平面向量的基本定理，可得

AD

=

1

5

AC

且

AE

=

2

5

AB

因此，點(diǎn)P到AB的距離等于點(diǎn)C到AB距離的

1

5

∴

S△ABP

S△ABC

=

1

5

再過Q作AB、AC的平行線QF、QG得平行四邊形AFQG
同理可證

AF

=

1

4

AC

且

AG

=

2

3

AB

，
可得點(diǎn)Q到AB的距離等于點(diǎn)C到AB距離的

1

4

，得

S△ABQ

S△ABC

=

1

4

因此，△ABP的面積與△ABQ的面積之比為

4

5

∵V_S-ABP=

1

3

S_△ABP•d，V_S-ABQ=

1

3

S_△ABP•d．其中d為S到平面ABC的距離
∴V_S-ABP：V_S-ABQ=

4

5

故答案為：

4

5

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形ABC內(nèi)的點(diǎn)P、Q滿足的條件，求兩個(gè)錐體的體積之比．著重考查了平面向量加法法則、平面向量基本定理及其應(yīng)用和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．