(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn),平面ABC

(Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.

(1)見(jiàn)解析(2)二面角的余弦值為.(3)

解析試題分析:(1)證明線(xiàn)面垂直,根據(jù)其判定定理,只須證明AB1垂直這個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)即可,本小題顯然應(yīng)證:.
(2)利用空間向量法求二面角,先求出二面角兩個(gè)面的法向量,然后再利用求解即可.
(3)利用空間向量法點(diǎn)C到平面的距離根據(jù)來(lái)解即可.
(1)取中點(diǎn),連結(jié). 為正三角形,
在正三棱柱中,  平面平面,平面
中點(diǎn),以為原點(diǎn),,,的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/66/f/1dmj83.png" style="vertical-align:middle;" />軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,

,,
,,
,. 平面
(2)設(shè)平面的法向量為
,,

由(1)知平面為平面的法向量.
   二面角的余弦值為
(3)由(2),為平面法向量,  
點(diǎn)到平面的距離
考點(diǎn):空間向量法證明線(xiàn)面垂直,求二面角,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,線(xiàn)面垂直的判定定理.
點(diǎn)評(píng):掌握線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行與垂直判斷與性質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的前提.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,四邊形均為菱形, ,且

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:AE∥平面FCB;
(Ⅲ)求二面角的余弦值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中,
,點(diǎn)的中點(diǎn)。

(1)求證:
(2)求與平面所成的角的正切值

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(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖,四棱錐中,底面,四邊形中, ,, ,,E為中點(diǎn).
(1)求證:CD⊥面PAC;(2)求:異面直線(xiàn)BE與AC所成角的余弦值;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本題滿(mǎn)分13分)如圖,在平行六面體中,,,,,的中點(diǎn),設(shè),

(1)用表示;
(2)求的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

本小題滿(mǎn)分12分)

已知三棱錐P­ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,
N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
(I)證明:CM⊥SN;(II)求SN與平面CMN所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分12分)
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=2,E,F(xiàn)分別是D1B,AD的中點(diǎn),
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出E點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)證明:EF是異面直線(xiàn)D1B與AD的公垂線(xiàn);
(3)求二面角D1—BF—C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,四邊形中(圖1),的中點(diǎn),,,將(圖1)沿直線(xiàn)折起,使二面角(如圖2)
(1)求證:平面;
(2)求二面角A—DC—B的余弦值。

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(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖,在三棱錐S-ABC中,BC⊥平面SAC,AD⊥SC.
(I)求證:AD⊥平面SBC;
(II)試在SB上找一點(diǎn)E,使得BC//平面ADE,并證明你的結(jié)論.

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