Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a≥1 時(shí)，f'（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）=0得x₁=arcsina，x₂=π-arcsina
當(dāng)x∈[0，x₁]時(shí)，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[x₁，x₂]時(shí)，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈[x₂，π]時(shí)，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[0，arcsina]時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[arcsina，π]時(shí)，單調(diào)遞減；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤．
令g（x）=sinx-（0≤x），則g′（x）=cosx-
當(dāng)x時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)時(shí)，g′（x）＜0
∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），
當(dāng)a≤時(shí)，有
①當(dāng)0≤x時(shí)，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；
②當(dāng)時(shí)，=1+≤1+sinx
綜上，a≤．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，對(duì)a進(jìn)行分類討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，可得a≤，構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx-（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考慮：①0≤x；②，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性．