Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴，
即，
又，
即，
a²=b²+c²，
解得，c=1，
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
，，
則，即，
則，，
即，
∴k₁•k₂為定值．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y），其中．
由已知及點(diǎn)P在橢圓C上可得，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中．
①當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得y²=6，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當(dāng)時(shí)，方程變形為，其中，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足的部分；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足的部分；
當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓
分析：（I）寫(xiě)出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關(guān)系，再利用橢圓本身三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可．
（II）設(shè)出P的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程得到P的坐標(biāo)的關(guān)系，寫(xiě)出A，B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出
k₁，k₂，將P的坐標(biāo)的關(guān)系代入k₁k₂化簡(jiǎn)求出其值．
（III）設(shè)出M的坐標(biāo)，求出P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的距離公式將已知的幾何條件用坐標(biāo)表示，通過(guò)對(duì)參數(shù)λ的討論，判斷出M的軌跡．
點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般設(shè)出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理，找突破口．注意設(shè)直線方程時(shí)，一定要討論直線的斜率是否存在．