Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=

x2+1

+

x2-6x+10

的性質(zhì)時(shí)，受到兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā)，將f（x）變形為f（x）=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-3)2+(0+1)2

，則f（x）表示|PA|+|PB|（如圖），下列關(guān)于函數(shù)f（x）的描述：
①f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形；
②f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

13

，+∞）；
④方程f[f（x）]=1+

10

有兩個(gè)解．
則描述正確的是（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①因?yàn)楹瘮?shù)不是奇函數(shù)，所以錯(cuò)誤．②利用函數(shù)對(duì)稱性的定義進(jìn)行判斷．③利用兩點(diǎn)之間線段最短證明．④利用函數(shù)的值域進(jìn)行判斷．

解答： 解：①因?yàn)閒（-x）=f（x）=

x2+1

+

x2+6x+10

≠-f（x），
所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故①錯(cuò)誤．
②因?yàn)閒（

3

2

-x）=

( 3 2 -x)2+1

+

( 3 2 -x-3)2+1

=

(x- 3 2 )2+1

+

(x+ 3 2 )2+1

，
所以f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)，即函數(shù)關(guān)于x=

3

2

對(duì)稱，故②正確．
③由題意值f（x）≥|AB|，而|AB|=

32+(-1-1)2

=

13

，所以f（x）≥

13

，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

13

，+∞），故③正確．
④設(shè)f（x）=t，則方程f[f（x）]=1+

10

，等價(jià)為f（t）=1+

10

，
即

t2+1

+

(t-3)2+1

=1+

10

，所以t=0，或t=3．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）≥

13

，所以當(dāng)t=0或t=3時(shí)，不成立，所以方程無(wú)解，故④錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，綜便考查學(xué)生的分析能力，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．