Question

11．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和，已知數(shù)列{a_n}是等和數(shù)列，且a₁=2，公和為5，試求：
（1）a₁₈的值；
（2）該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁+a₂=5=a₂+a₃=…，可得a₁=a₃=…，a₂=3=a₄=…=a₁₈．即可得出．
（2）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+a_2k）=5k．當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，S_n=S_2k-a_2k，即可得出．

解答 解：（1）∵a₁+a₂=5=a₂+a₃=…，可得a₁=a₃=…，a₂=3=a₄=…=a₁₈．
∴a₁₈=3．
（2）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+a_2k）=5k=$\frac{5n}{2}$．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，S_n=S_2k-a_2k=$\frac{5（n+1）}{2}$-3=$\frac{5n-1}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5n}{2}，n為偶數(shù)}\\{\frac{5n-1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了新定義“等和數(shù)列”通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分組求和，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．