【題目】直三棱柱, 分別是的中點(diǎn), ,

(1)證明: .

(2)棱上是否存在一點(diǎn),使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為若存在,說(shuō)明點(diǎn)的位置,若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)點(diǎn)DA1B1中點(diǎn)

【解析】試題分析:(1)由直三棱柱性質(zhì)可得ABAA1,根據(jù)條件可得ABAE.最后根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理證明結(jié)論(2)研究二面角大小一般利用空間向量數(shù)量積,即先建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解各面法向量,再根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角,根據(jù)法向量夾角與二面角關(guān)系建立方程,解出點(diǎn)的坐標(biāo),確定其位置

試題解析:(1)∵AEA1B1,A1B1AB,

∴ABAE.

∵ABAA1,AEAA1=A,

∴AB⊥平面A1ACC1.

(2) ∵ AB⊥平面A1ACC1.

∵AC平面A1ACC1,

∴ABAC.

A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Axyz.

A(0,0,0),E,F,0,A1(0,0,1),B1(1,0,1).

假設(shè)存在,,且λ∈[0,1],

∴D(λ,0,1).

設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),

,

z=2(1),

n=(3,1+2λ,2(1)).

由題可知平面ABC的一個(gè)法向量m=(0,0,1).

平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為,

∴|cos(m,n)|=,

.

∴λ=λ= (舍),

當(dāng)點(diǎn)DA1B1中點(diǎn)時(shí),滿(mǎn)足要求.

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