Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的導函數(shù)f′（x）=-2x+7，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由導數(shù)性質(zhì)求出f（x）=-x²+7x，由點P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，求出${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）令a_n=-2n+8≥0，得n≤4，由此能求出S_n的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f′（x）=2ax+b，
∵函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的導函數(shù)f′（x）=-2x+7，
∴a=-1，b=7，
∴f（x）=-x²+7x，
又∵點P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$，
當n=1時，a₁=S₁=6，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，
∴a_n=-2n+8，n∈N^*．
（2）令a_n=-2n+8≥0，得n≤4，
∴當n=3或n=4時，S_n取得最大值${S}_{3}={S}_{4}=-{3}^{2}+7×3$=12．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列前n項和的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．