Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線在軸正半軸及軸正半軸截距相等時的直角坐標(biāo)方程；

（2）若，設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為，由此可得出曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)題意可求得直線的斜率，進(jìn)而可求得直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）將代入直線的參數(shù)方程，再將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)、對應(yīng)的參數(shù)分別為、，列出韋達(dá)定理，結(jié)合的幾何意義可求得的值.

（1）由得，所以，

由，，得曲線的直角坐標(biāo)方程為.

當(dāng)直線在軸正半軸及軸正半軸截距相等時，，

由得，所以，

即此時直線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）當(dāng)時，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,

設(shè)點(diǎn)、對應(yīng)的參數(shù)分別為、，

將直線的參數(shù)方程代入，得，整理得，

由韋達(dá)定理得，，

故.