Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1=

1

2

a_n²-

n

2

a_n+1（n∈N^*）且a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：

7

60

≤S_n＜

13

24

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求得a₂，a₃，a₄的值，猜測(cè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n代入b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，整理后求出b1=

7

3×4×5

=

7

60

，再由b_n＞0說(shuō)明不等式左邊成立，然后利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)相消法證明不等式右邊．

解答： （1）解：由a_n+1=

1

2

a_n²-

n

2

a_n+1，a₁=3，得
a2=

1

2

×32-

1

2

×3+1=4．
a3=

1

2

×42-4+1=5．
a4=

1

2

×52-

3

2

×5+1=6．
…
由此推測(cè)，a_n=n+2．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即a_k=k+2，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

1

2

ak2-

k

2

ak+1=

1

2

(k+2)2-

k

2

(k+2)+1
=

2k+6

2

=k+3=(k+1)+2，結(jié)論成立．
綜上，對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n=n+2；
（2）證明：由b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，得
bn=

2(n+2)+1

(n+2)(n+3)(n+4)

=

2n+5

(n+2)(n+3)(n+4)

．
當(dāng)n=1時(shí)，b1=

7

3×4×5

=

7

60

，
又b_n＞0，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn≥S1=

7

60

；
又

2n+5

(n+2)(n+3)(n+4)

=

1

n+2

-

1

n+4

-

1

2

[

1

(n+2)(n+3)

-

1

(n+3)(n+4)

]．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=(

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+

1

5

-

1

7

+…+

1

n+2

-

1

n+4

)
-

1

2

[

1

3×4

-

1

4×5

+

1

4×5

-

1

5×6

+…

1

(n+2)(n+3)

-

1

(n+3)(n+4)

]
=

1

3

+

1

4

-

1

24

-

1

n+3

-

1

n+4

+

1

(n+3)(n+4)

=

13

24

-

2

n+4

＜

13

24

．
綜上，

7

60

≤S_n＜

13

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了放縮法證明是列不等式，考查了學(xué)生的靈活思維能力和計(jì)算能力，是壓軸題．