Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用1）的結(jié)論求解不等式2|lnx|≤•|x-1|．并利用不等式結(jié)論比較ln²（1+x）與的大�。�
（3）若不等式對任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：先求函數(shù)的定義域
（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間（0，+∞）的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)題目中式子的結(jié)構(gòu)，結(jié)合（1）中單調(diào)性的結(jié)論可考慮討論①x≥1，f（x）≤f（1）=0②0＜x＜1，f（x）＞f（1）=0兩種情況對原不等式進(jìn)行求解．
（3）若不等式對任意n∈N^*都成立?a≤恒成立構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，從而求解函數(shù)的最小值，即可求解a的值
解答：解：（1），定義域x|x＞0

∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）對
當(dāng)x≥1時，原不等式變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180845334714554/SYS201310241808453347145020_DA/6.png">
由（1）結(jié)論，x≥1時，f（x）≤f（1）=0，即成立
當(dāng)0＜x≤1時，原不等式變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180845334714554/SYS201310241808453347145020_DA/9.png">，即
由（1）結(jié)論0＜x≤1時，f（x）≥f（1）=0，
綜上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0時，，即，
∴
用（其中x＞-1）代入上式中的x，可得
（3）結(jié)論：a的最大值為
∵n∈N^*，∴∵，∴
取，則x∈（0，1]，∴
設(shè)，
∵g（x）遞減，
∴x=1時
∴a的最大值為．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解對數(shù)不等式，函數(shù)的恒成立問題的求解，綜合考查了函數(shù)的知識的運(yùn)用，要求考生具備綜合解決問題的能力．