【題目】已知橢圓E的中心在原點,焦點在x軸,焦距為2,且長軸長是短軸長的

()求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

()設(shè)P(2,0),過橢圓E左焦點F的直線lEA、B兩點,若對滿足條件的任意直線l,不等式 λ(λR)恒成立,求λ的最小值.

【答案】() y21()

【解析】試題分析:(1)設(shè)橢圓方程,由a=b,a2=b2+1,即可求得a和b的值,求得橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得,當(dāng)直線l不垂直于x軸時,設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,由韋達定理,及函數(shù)的最值即可求得的最小值,即可求得λ的最小值.

試題解析:

(Ⅰ)依題意,ab,c=1,

解得a2=2,b2=1,∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=1.

(Ⅱ)設(shè)A(x1y1),B(x2,y2),

·=(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2,

當(dāng)直線l垂直于x軸時,x1x2=-1,y1=-y2y

此時=(-3,y1),=(-3,y2)=(-3,-y1),

所以·=(-3)2y

當(dāng)直線l不垂直于x軸時,設(shè)直線lyk(x+1),

整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1x2=-,x1x2,

所以·x1x2-2(x1x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)

=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1x2)+4+k2=(1+k2-(k2-2)·+4+k2

<.

要使不等式·λ(λ∈R)恒成立,只需λ≥(·)max,即λ的最小值為.

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