Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，l與雙曲線的兩條漸近線相交于B，C兩點(diǎn)，且|AB|=|BC|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3

• B、3
• C、

  10

• D、10

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)條件求出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與漸近線方程分別求出點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)，結(jié)合B為AC的中點(diǎn)求出b，a間的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．

解答： 解：由題得：雙曲線：的左頂點(diǎn)A（-a，0）
所以所作斜率為1的直線l：y=x+a，
若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯(lián)立其中一條漸近線y=-

b

a

x，解得x₁=

a2

-a-b

①；
同理聯(lián)立解得x₂=

a2

b-a

②；
又因?yàn)閨AB|=|BC|，
故B是A，C的中點(diǎn)，
∴x₁=

x2-a

2

⇒2x₁=x₂-a，
把①②代入整理得：b=3a，
∴e=

c

a

=

1+32

=

10

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題過程中要注意由|AB|=|BC|得到B是A，C的中點(diǎn)這以結(jié)論的運(yùn)用．