Question

在平面直角坐標系中，已知曲線: ，在極坐標系（與平面直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線的極坐標方程為.
（1）將曲線上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的倍、倍后得到曲線，試寫出直線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程；
（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最大，并求出此最大值.

Answer 1

（1）,;(2)當時．

試題分析：
解題思路：（1）利用直線與橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化公式求解即可；(II)利用點到直線的距離公式轉(zhuǎn)化從三角函數(shù)求最值即可求解.
規(guī)律總結(jié)：參數(shù)方程與普通方程之間的互化，有公式可用，較簡單；往往借助參數(shù)方程研究直線與橢圓的位置關(guān)系或求最值.
試題解析：（1）由題意知，直線的直角坐標方程為，  
由題意知曲線的直角坐標方程為，      
∴曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.      
（2）設(shè)，則點到直線的距離
，       
當時，即點的坐標為時，點到直線的距離最大，
此時.